题目内容
16.设f(x)=$\frac{1-x}{ax}$+ax(a>0).(1)判断函数f(x)在(0,+∞)的单调性;
(2)设g(a)为f(x)在区间[1,2]上的最大值,写出g(a)的表达式.
分析 (1)先求出函数f(x)的导数,通过解导函数的不等式,从而求出函数的单调区间;
(2)通过讨论a的范围,结合函数的单调性,从而求出函数的最大值,继而得到g(a)的表达式.
解答 解:(1)由已知得f′(x)=a-$\frac{1}{{ax}^{2}}$,(a>0,x∈(0,+∞)),
令f′(x)>0,解得:x>$\frac{1}{a}$,令f′(x)<0,解得:0<x<$\frac{1}{a}$,
∴函数f(x)在(0,$\frac{1}{a}$)递减,在($\frac{1}{a}$,+∞)递增;
(2)由(1)得:
当$\frac{1}{a}$≤1,即a≥1时,f(x)最大值=f(2)=2a-$\frac{1}{2a}$,
当$\frac{1}{a}$≥2,即0<a≤$\frac{1}{2}$时,f(x)最大值=f(1)=a,
当1<$\frac{1}{a}$<2,即$\frac{1}{2}$<a<1时,
∵f(2)-f(1)=2a-$\frac{1}{2a}$-a=$\frac{{2a}^{2}-1}{2a}$,
∴当$\frac{1}{2}$<a<$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,f(x)最大值=f(1)=a,
当$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a<1时,f(x)最大值=f(2)=2a-$\frac{1}{2a}$,
综上,g(a)=$\left\{\begin{array}{l}{2a-\frac{1}{2a},a≥\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a,0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$.
点评 本题考查了函数的单调性、函数的最值问题,考查导数的应用,是一道中档题.
练习册系列答案
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A. | 120 | B. | -30 | C. | 15 | D. | -15 |
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A. | bi | B. | -bi | C. | -b | D. | b |
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(2)若在该市购买120平方米的房屋,估计购房费用是多少?
参考公式:$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$.
x(平方米) | 80 | 90 | 100 | 110 |
y(万元) | 42 | 46 | 53 | 59 |
(2)若在该市购买120平方米的房屋,估计购房费用是多少?
参考公式:$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$.
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①a+b<ab ②|a|<|b|③a<b ④a2+b2+2a-2b+2>0.
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 非充分非必要条件 |