题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）设 $数学公式$ ，求t的取值范围；
（Ⅱ）关于x的方程f（x）-m=0，x∈[0，1]，存在这样的m值，使得对每一个确定的m，方程都有唯一解，求所有满足条件的m．
（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，存在正数β，使得不等式 $数学公式$ $数学公式$ 成立的最小正数α=2，并求此时的最小正数β．

解：（Ⅰ）函数定义域x∈[-1，1]， $\text{[math]}$ ，∵t≥0，∴ $\text{[math]}$ ，即t 的取值范围是 $\text{[math]}$ （Ⅱ） $\text{[math]}$ ，由（Ⅰ） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，g（t）在 $\text{[math]}$ 单调递增，所以 $\text{[math]}$ ．设x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，则1-x₁²≠1-x₂²，即 $\text{[math]}$ ，即t₁≠t₂．故存在m，使得对每一个 $\text{[math]}$ ，方程都有唯一解x₀∈[0，1]．
（Ⅲ） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．以下证明，对0＜α0，不等式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （0≤x≤1）不成立．反之，由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，亦即x^2-α $\text{[math]}$ 成立，因为2-α＞0， $\text{[math]}$ ，但f（0）=8，这是不可能的．这说明α=2 是满足条件的最小正数．这样，不等式 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （x∈[0，1]）恒成立，即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 恒成立，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，最小正数β=4
分析：（Ⅰ）两边平方，借助于函数定义域x∈[-1，1]，求得t 的取值范围是 $\text{[math]}$ ；（Ⅱ）只需要求出函数x∈[0，1]的值域即可知m值的范围；（Ⅲ）将问题等价转化为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 恒成立，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而求出最小正数．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及分类讨论的思想，解题的关键是对于恒成立的理解，是一道综合题