Question

已知点M（x₀，y₀）（x₀≠0）在抛物线E：y²=2px（p＞0）上，抛物线的焦点为F．有以下命题：
①抛物线E的通径长为2p；
②若p=2，则|MF|-x₀恒为定值1；
③若2p=1，且△MON（O为坐标原点，N在抛物线E上）为正三角形，则|MN|=4

3

；
④若2p=1，则抛物线E上一定存在两点关于直线y=-x+3对称．
其中你认为正确的所有命题的序号为

①②④

．

Answer 1

分析：①根据通径的定义可知其正确；
②利用抛物线的定义将|MF|转化为M到准线的距离，再进行判断；
③设另外两个顶点的坐标分别为 （m²，m），（ m²，-m），由 tan30°=

m

m2

，解得 m的值，从而求出|MN|的值．
④设存在两点关于直线对称，则两点连线与对称轴垂直，根据两点的中点在对称轴上，将两点代入抛物线方程作差，得到斜率与中点的关系，据点在抛物线上，利用方程组求出对称的两点即可进行判断．

解答：解：①根据通径的定义可知，抛物线E的通径长为2p．其正确；
②利用抛物线的定义将|MF|转化为M到准线的距离，
即|MF|-x₀=|MP|-x₀=|PQ|=定值1．故正确；
③设正三角形另外两个顶点的坐标分别为 （ m²，m），（ m²，-m），由 tan30°=

m

m2

，
解得 m=

3

，故这个正三角形的边长为  2m=2

3

，
故正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为2

3

，③错误．
 ④：直线l的方程为y=-x+3，设弦的两个端点分别是A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
代入抛物线方程并作差得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=x₁-x₂．
∵k_AB=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴y₁+y₂=1．注意到AB的中点在直线y=-x+3上，
∴x₁+x₂=6-（y₁+y₂）=6-1=5，
∴y₁²+y₂²=x₁+x₂=5，结合上面的y₁+y₂=1解出

y1=-1 y2=2

或

y1=2 y2=-1

．
故抛物线y²=x上总存在两点关于直线对称．
故答案为：①②④．

点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与圆锥曲线之间的关系，本小题④解题的关键是利用两点关于直线对称时，两点连线与对称轴垂直，两点中点在对称轴上．