Question

已知函数f(x)=3cos(

x

2

+

π

6

)+3
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值，以及此时x的取值集合；
（3）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式根据函数y=Asin（ωx+∅）的周期等于

2π

ω

，求得它的最小正周期．
（2）当 cos（

x

2

+

π

6

）=1时，函数f（x）取得最大值为6，此时，（

x

2

+

π

6

）=2kπ，k∈z，由此求得当f（x）取得
最大值时，x的取值集合．
（3）令 2kπ-π≤（

x

2

+

π

6

）≤2kπ，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）由f（x）的解析式为f(x)=3cos(

x

2

+

π

6

)+3，可得它的最小正周期 T=

2π

1 2

=4π．
（2）根据f(x)=3cos(

x

2

+

π

6

)+3可得，当 cos（

x

2

+

π

6

）=1时，函数f（x）取得最大值为6，
此时，（

x

2

+

π

6

）=2kπ，k∈z，解得 x=4kπ-

π

3

，k∈z．
故当f（x）取得最大值时，x的取值集合为{x|x=4kπ-

π

3

，k∈z}．
（3）令 2kπ-π≤（

x

2

+

π

6

）≤2kπ，k∈z，可得 4kπ-

7π

3

≤x≤4kπ-

π

3

，
故f（x）的单调递增区间为[4kπ-

7π

3

，4kπ-

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查复合三角函数的周期性及求法，复合三角函数的值域、单调性，属于中档题．