题目内容

已知向量 $数学公式$ =（cosθ，sinθ）， $数学公式$ =（cos2θ，sin2θ）， $数学公式$ =（-1，0）， $数学公式$ =（0，1）．
（1）求证： $数学公式$ ⊥（ $数学公式$ + $数学公式$ ）（其中θ≠kπ）；
（2）设f（θ）= $数学公式$ •（ $数学公式$ - $数学公式$ ），且θ∈（0，π），求f（θ）的值域．

解（1）∵ $\text{[math]}$ =cosθcos2θ+sinθsin2θ-cosθ
=cos（2θ-θ）-cosθ=0，
∴ $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$
f（θ）= $\text{[math]}$
=cosθ-sinθ= $\text{[math]}$ ）
∵θ∈（0，π），
∴θ+ $\text{[math]}$ ），
∴cos（θ+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$
∴f（θ）的值域为[- $\text{[math]}$ ，1）
分析：（1）利用向量的数量积公式求出 $\text{[math]}$ ，利用向量垂直的常用条件得到证明．
（2）利用向量的数量积公式求出f（θ），将f（θ）化简，利用三角函数的有界性求出其值域．
点评：平面向量与三角函数的结合的试题中，向量一般都是转化的工具，然后利用三角函数的公式及性质进行求解，正弦定理与余弦定理是用来解三角形的常用工具，还考查了基本不等式在求最值中的应用．