Question

给出下列四个命题：
①如果命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；
②已知向量，满足，且，则与的夹角为；
③若函数f（x+1）是奇函数，f（x-1）是偶函数，且f（0）=2，则f（2012）=2；
④已知函数是偶函数，函数，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且只有一个公共点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．
其中正确命题的序号为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据复合命题真假性的真值表，可判断出命题“p”为假命题，进而命题“q”是真命题，可判断（1）；
根据向量夹角公式，结合已知求出两个向量的夹角，可判断（2）；
根据已知，结合函数奇偶性的定义，分析出函数的周期性，进而求出f（2012）的值，可判断（3）；
根据函数奇偶性的定义，求出k值，进而根据函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且只有一个公共点，求出实数a的取值范围，可判断（4）．
解答：解：若命题“¬p”与命题“p或q”都是真命题，则命题“p”为假命题，命题“q”是真命题，故①正确；
若，且，则与的夹角θ满足，cosθ==，则与的夹角为，故②错误；
若函数f（x+1）是奇函数，f（x+1）=-f（-x+1），若f（x-1）是偶函数，则f（x-1）=f（-x-1）
故f（x+4）=f（x+3+1）=-f[-（x+3）+1]=-f（-x-2）=-f[-（x+1）-1]=-f（x+1-1）=-f（x）
则f（x+8）=-f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为8，由f（0）=2，则f（2012）=f（4）=-2，故③错误；
由f（x）为偶函数，故log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx对所有x∈R都成立，即（2k+1）x=0对所有x∈R都成立，故k=-．
由方程log4（4x+1）-x=（*）
可变形为，由②得或，
令2^x=t，则，或
由①得（a-1）（2x）2-a•2x-1=0，设h（t）=（a-1）t2-at-1
∴当a＞0时，（a-1）h（）＜0⇒a＞1，
当a＜0时，h（0）=-1＜0，h（）＞0⇒a不存在，
当△=（-a）2+4（a-1）=0时，a=或a=-3，
若a=，则t=-2，不合题意，舍去，若a=-3，则t=，满足题意，
∴当a=-3或a＞1时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，故④错误
故答案为：①
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性与周期性，复合命题，向量夹角公式等知识点，其中（3）（4）是函数图象和性质的综合应用，难度非常大．