题目内容
若点P是曲线y=2-lnx上任意一点，则点P到直线y=-x的最小距离是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】分析：利用导数研究函数的极值和最值、点到直线的距离公式即可得出．
解答：解：设点P（x，2-lnx）为曲线y=2-lnx上任意一点，则点P到直线y=-x的距离d=
，
令f（x）=x+2-lnx（x＞0），则
=
，令f′（x）=0，解得x=1．
当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，也是最小值，且f（1）=3＞0．
∴点P到直线y=-x的最小距离d=
=
．
故选B．
点评：整理掌握利用导数研究函数的极值和最值、点到直线的距离公式是解题的关键．
解答：解：设点P（x，2-lnx）为曲线y=2-lnx上任意一点，则点P到直线y=-x的距离d=
，令f（x）=x+2-lnx（x＞0），则
=，令f′（x）=0，解得x=1．当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得极小值，也是最小值，且f（1）=3＞0．
∴点P到直线y=-x的最小距离d=
=．故选B．
点评：整理掌握利用导数研究函数的极值和最值、点到直线的距离公式是解题的关键．
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