Question

设M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i₀，其中i_k=0或1（k=0，1，2，…，t-1，t∈N₊），并记M=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，对于给定的x₁=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，构造数列{x_n}如下：x₂=（1i₀i_t-1i_t-2…i₂i₁）₂x₃=（1i₁i₀i_t-1i_t-2…i₃i₂）₂，x₄=（1i₂i₁i₀i_t-1i_t-2…i₄i₃）₂…，若x₁=27，则x₄=________（用数字作答）．

Answer 1

23
分析：由M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i₀，且i_k=0或1，M=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，x₁=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂，得x₁的表达式；由x₁=27＜32，得t=4；从而得i₀，i₁，i₂，i₃；即得x₄的值．
解答：由题意，x₁=（1i_t-1i_t-2…i₁i₀）₂=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i₀=27，知t=4；
∴x₁=2⁴+1×2³+0×2²+1×2+1，这里i₀=1，i₁=1，i₂=0，i₃=1；
∴x₄=（1i₂i₁i₀i_t-1i_t-2…i₄i₃）₂=2^t+i₂×2^t-1+i₁×2^t-2+i_t-1×2^t-3+…+i₄×2+i₃=2⁴+0×2³+1×2²+1×2+1=23；
故答案为：23．
点评：本题用二进制的知识，考查了数列的综合运用；解题时，关键是弄清题意，结合所学的知识，细心作答．