Question

一组数据4，7，10，s，t的平均数是7，n是这组数据的中位数，设f(x)=(

1

x

-x2)n．
（1）求f（x）的展开式中x^-1的项的系数；
（2）求f（x）的展开式中系数最大的项和系数最小的项．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得s+t=14，这组数据的中位数是7可求得n=7；
（2）f（x）的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，从而可求得最大项与最小项．

解答：解：（1）依题意有：

4+7+10+s+t

5

=7得：s+t=14，
不妨设s≥t，则s≥7，t≤7，则这组数据的中位数是7，故n=7，
f（x）的展开式中T_k+1=

C

k 7

（x^-1）^7-k（-x²）^k=

C

k 7

（-1）^kx^3k-7，
3k-7=-1⇒k=2，
故展开式中x^-1的项的系数为

C

2 7

（-1）²=21-------（6分）
（2）f（x）的展开式中共8项，其中第4项和第5项的二项式系数最大，
而第5项的系数等于第5项二项式系数，故第5项的系数最大，
即最大项为T₅=

C

4 7

(x-1)3(-x2)4=35x⁵，
第4项的系数等于第4项二项式系数的相反数，故第4项的系数最小，
即最小项为T₄=

C

3 7

(x-1)4(-x2)3=-35x²----（12分）

点评：本题考查二项式定理，考查众数、中位数、平均数，求得n=7是关键，也是难点，属于难题．