题目内容
设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
+
≤2，则关于函数f（x）有：
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）对任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）当x∈（0，1），函数y=
+x为减函数．
上述四个命题中正确的有
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
（1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
（2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
（3）对任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
（4）当x∈（0，1），函数y=
| f(x) |
| x |
上述四个命题中正确的有
（2）（3）
（2）（3）
．分析：观察四个命题（1）（2）两个不能同时成立，对于命题（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，利用基本不等式证明；
（3）证明函数f（x）为常数即可．（4）利用（3）的结论证明（4）．
（3）证明函数f（x）为常数即可．（4）利用（3）的结论证明（4）．
解答：解：因为对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
所以令x1=x，x2=1-x，则
+
≥2
=2，
由②知
+
≤2，所以必有
+
=2，当且仅当
=
=1，即f（x）=f（1-x）时取等号，所以（1）错误，（2）正确．
（3）将②中的变量x1，x2，交换位置得
+
≤2，③，将②③相加得
+
+
+
≤4，
因为
+
≥2
=2，
+
≥2
=2，
所以
+
+
+
≥4，所以
+
+
+
=4，
当且仅当，
=
=1，
=
=1，取等号，所以f（x1）=f（x2），即对任意的变量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
所以f（x）为常数，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因为f（x）为常数，所以设f（x）=c＞0，
所以y=
+x=
+x，函数的导数为y'=1-
，当x＞0时，由y'＜0得，0＜x＜
，所以函数在（0，
）上单调递减，所以当c＜1时，函数y=
+x为减函数不一定正确．
故正确的是（2）（3）．
所以令x1=x，x2=1-x，则
| f(x) |
| f(1-x) |
| f(1-x) |
| f(x) |
|
由②知
| f(x) |
| f(1-x) |
| f(1-x) |
| f(x) |
| f(x) |
| f(1-x) |
| f(1-x) |
| f(x) |
| f(x) |
| f(1-x) |
| f(1-x) |
| f(x) |
（3）将②中的变量x1，x2，交换位置得
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
因为
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x 1) |
| f(x2) |
|
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
|
所以
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x 1) |
| f(x2) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x 1) |
| f(x2) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
当且仅当，
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x 1) |
| f(x2) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
所以f（x）为常数，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
（4）因为f（x）为常数，所以设f（x）=c＞0，
所以y=
| f(x) |
| x |
| c |
| x |
| c |
| x2 |
| c |
| c |
| f(x) |
| x |
故正确的是（2）（3）．
点评：本题考点是抽象函数及其应用，解决本题的关键是构造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等号成立的条件找到命题正确判断的依据，综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
科学实验活动册系列答案
相关题目