Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为8，E、F分别为AD₁，CD₁中点，G、H分别为棱DA，DC上动点，且EH⊥FG．
（1）求GH长的取值范围；
（2）当GH取得最小值时，求证：EH与FG共面；并求出此时EH与FG的交点P到直线B₁B的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设DG=a，DH=b可得E、F、G、H各点的坐标，得到、坐标，根据•=0，解出b=4-a，根据距离公式得到GH==，结合二次函数的性质即可得到GH长的取值范围；
（2）由（1）知当a=b=2时，GH取得最小值．由此算出EF∥GH，即EH与FG共面，得，设P（x₁，y₁，z₁），得到=（x₁-4，y，z₁-4），从而建立关于x₁、y₁、z₁的方程组，解之得P在ABCD平面上的射影M的坐标，结合两点间的距离公式即可算出P到直线B₁B的距离．
解答：解：（1）以D为原点，DA、DC、DD₁分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设DG=a，DH=b，可得
E（4，0，4），F（0，4，4），G（a，0，0），H（0，b，0）．
∴=（-4，b，-4），=（a，-4，-4）．
∵EH⊥FG，∴•=-4a-4b+16=0，则a+b=4，即b=4-a．
又G₁H在棱DA，DC上，则0≤a≤8，0≤b≤8，从而0≤a≤4．
∴GH==．
∴GH取值范围是[2，4]．        …（6分）
（2）当GH=2时，a=2，b=2．
∴=（-2，2，0），=（-4，4，0），即=2．
∴EF∥GH，即EH与FG共面．
所以EF=2GH，EF∥GH，则．
设P（x₁，y₁，z₁），则=（x₁-4，y，z₁-4）．
∴x₁=，y₁=，z₁=，即P（，，）．
则P（，，）在底面上ABCD上的射影为M（，，0）．
又∵B（8，8，0），
∴，即为点P到直线B₁B的距离．…（12分）
点评：本题在正方体中求点到直线的距离，着重考查了空间直角坐标系的建立、利用空间向量的方法求点线距离和正方体的性质等知识，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．