题目内容
16.在△ABC中,已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4,|$\overrightarrow{BC}$|=3,M、N分别是BC边上的三等分点,则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=6.分析 设BC的中点为O,由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4,求得${\overrightarrow{AO}}^{2}$=$\frac{25}{4}$.再根据$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$)•($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{ON}$)=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OM}}^{2}$,计算求得结果.
解答 解:如图,设BC的中点为O,由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4、|$\overrightarrow{BC}$|=3,
可得($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$)•($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OC}$)=($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$)•($\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{OB}$)=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OB}}^{2}$=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${(\frac{3}{2})}^{2}$=4,
求得${\overrightarrow{AO}}^{2}$=$\frac{25}{4}$.
则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$)•($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{ON}$)=($\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OM}$)•($\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{OM}$)=${\overrightarrow{AO}}^{2}$-${\overrightarrow{OM}}^{2}$=$\frac{25}{4}$-${(\frac{1}{2})}^{2}$=6,
故答案为:6.
点评 本题考查了平面向量的数量积运算,考查了向量加法的三角形法则,体现了数学转化、数形结合的数学思想,是中档题.
A. | (0,$\frac{2}{3}$) | B. | ($\frac{2}{3}$,+∞) | C. | (0,$\frac{2}{3}$] | D. | [$\frac{2}{3}$,+∞) |
A. | (0,$\frac{1}{4}$) | B. | (-∞,$\frac{1}{4}$) | C. | (0,$\frac{1}{4}$] | D. | (-∞,$\frac{1}{4}$] |
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$+cosα | ||
C. | $\frac{1}{2}$+cosα+cos3α | D. | $\frac{1}{2}$+cosα+cos3α+cos5α |
A. | [1-($\frac{1}{3}$)5]3 | B. | [1-($\frac{1}{3}$)3]5 | C. | 1-[1-($\frac{2}{3}$)5]3 | D. | 1-[1-($\frac{2}{3}$)3]5 |
A. | {x|x<1} | B. | {x|0<x<1} | C. | {x|x>1} | D. | ∅ |