题目内容
设a，b，x，y∈R+，且x2+y2=r2（r＞0），求证：| a2x2+b2y2 |
| a2y2+b2x2 |
分析：设z1=ax+byi，z2=bx+ayi（a，b，x，y∈R+），则
+
=|z1|+|z2|≥|z1+z2|，再利用|z1+z2|=|（a+b）x+（a+b）yi|=|（a+b）（x+yi）|=（a+b）•r，命题得证．
| a2x2+b2y2 |
| a2y2+b2x2 |
解答：证明：令复数z1=ax+byi，复数z2═bx+ayi（a，b，x，y∈R+）
，则问题化归为证明：|z1|+|z2|≥r（a+b）．
设z1=ax+byi，z2=bx+ayi（a，b，x，y∈R+），则
+
=|z1|+|z2|≥|z1+z2|
=|（a+b）x+（a+b）yi|=|（a+b）（x+yi）|=（a+b）•r．
故不等式成立．
，则问题化归为证明：|z1|+|z2|≥r（a+b）．
设z1=ax+byi，z2=bx+ayi（a，b，x，y∈R+），则
| a2x2+b2y2 |
| a2y2+b2x2 |
=|（a+b）x+（a+b）yi|=|（a+b）（x+yi）|=（a+b）•r．
故不等式成立．
点评：本题考查复数代数形式及其几何意义，不等式的证明方法．
练习册系列答案
相关题目