Question

数列{a_n}中，已知对任意n∈N^*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-1，则

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=

1

2

(9n-1)

．

Answer 1

分析：设数列{a_n}的前n项和为S_n，则Sn=3n-1，当n≥2时，Sn=3n-1-1．即可得出a_n=S_n-S_n-1．进而得到

a

2 n

，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：设数列{a_n}的前n项和为S_n，则Sn=3n-1，当n≥2时，Sn=3n-1-1．
∴a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ-1-（3^n-1-1）=2×3^n-1，当n=1时也成立．
∴

a

2 n

=（2×3^n-1）²=4×9^n-1．
∴

a

2 1

+

a

2 2

+

a

2 3

+…+

a

2 n

=4（9⁰+9¹+…+9^n-1）=4×

9n-1

9-1

=

1

2

(9n-1)．
故答案为：

1

2

(9n-1)．

点评：本题考查了关系a_n=S_n-S_n-1、等比数列的前n项和公式等基础知识与基本方法，属于中档题．