题目内容
在数列{an}中,a1=a,an+1=
,n=1,2,3,….(1)若对于n∈N*,均有an+1=an成立,求a的值;
(2)若对于n∈N*,均有an+1＞an成立,求a的取值范围;
(3)请你构造一个无穷数列{bn},使其满足下列两个条件,并加以证明:
①bn＜bn+1,n=1,2,3,…;
②当a为{bn}中的任意一项时,{an}中必有某一项的值为1.
解：(1)依题意,an+1=an=a,n=1,2,3,….
所以a=,解得a=2或a=3,符合题意.
(2)解不等式an+1＞an,即
＞an,得an＜0或2＜an＜3.
所以,要使a2＞a1成立,则a1＜0或2＜a1＜3.
①当a1＜0时,a2=f(a1)=
=5
＞5,
而a3-a2=f(a2)-a2=
-a2
=
＜0,
即a3＜a2,不满足题意.
②当2＜a1＜3时,a2=f(a1)=
=5
∈(2,3),a3=5
∈(2,3),…,满足题意.
综上,a∈(2,3).
(3)构造数列{bn}:b1=
,bn+1=
(n∈N*),
那么bn=5
.不妨设a取bn,
那么a2=5
=5
=bn-1,
a3=5
=5
=bn-2,
…,
an=5
=5
=b1=
,
an+1=5
=5
=1.
由b1=
＜2,可得bn=
＜2(n＞1,n∈N*).
因为bn+1-bn=
-bn=
＞0,
所以bn＜bn+1,n=1,2,3,….
又bn＜2≠5,所以数列{bn}是无穷数列,因此构造的数列{bn}符合题意.
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