题目内容

给出下列五个命题：其中正确的命题有________（填序号）．
①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积 $数学公式$ ；
② $数学公式$ ；
③在（a+b）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和；
④i+i²+i³+…i²⁰¹²=0；
⑤用数学归纳法证明不等式 $数学公式$ 的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立时，只需证明 $数学公式$ 即可．

②③④
分析：①利用定积分的几何意义即可求出；
②由组合数的性质即可判断出；
③利用二项展开式的性质即可判断出；
④根据i的周期性或等比数列的前n项和公式即可得出；
⑤利用数学归纳法的要求即可判断出．
解答：①函数y=sinx（x∈[-π，π]）的图象与x轴围成的图形的面积=- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，而面积 $\text{[math]}$ =0，因此不正确；
②由组合数的性质可知：在n∈N^*，r∈N的条件下所给的式子成立，因此正确；
③在（a+b）ⁿ的展开式中，分别令a=1，b=-1，则 $\text{[math]}$ …= $\text{[math]}$ …，即奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，因此正确；
④根据i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，则i+i²+i³+…i²⁰¹²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =0，因此正确；
⑤用数学归纳法证明不等式 $\text{[math]}$ 的过程中，由假设n=k成立推到n=k+1成立，
只需证明 $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 成立即可，因此⑤不正确．
综上可知：只有②③④正确．
故答案为②③④．
点评：熟练掌握微积分基本定理、组合数的性质、二项展开式的性质、i的周期性及等比数列的前n和公式、数学归纳法是解题的关键．