题目内容
设点F(0,
),动圆P经过点F且和直线y=
相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W,(1)求曲线W的方程;
(2)过点F作互相垂直的直线l1、l2,分别交曲线W于A、B和C、D.求四边形ACBD面积的最小值.
解：(1)过点P作PN垂直直线y=于点N.
依题意得|PF|=|PN|,
所以动点P的轨迹为是以F(0,
)为焦点,直线y=
为准线的抛物线,
即曲线W的方程是x2=6y.
(2)依题意,直线l1、l2的斜率存在且不为0,
设直线l1的方程为y=kx+
,
由l1⊥l2得l2的方程为y=
x+
.
将y=kx+
代入x2=6y,化简得x2-6kx-9=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6k,x1x2=-9.
∴|AB|=
=
=6(k2+1).
同理可得|CD|=6(
+1).
∴四边形ACBD的面积S=
|AB|·|CD|=18(k2+1)(
+1)=18(k2+
+2)≥72,
当且仅当k2=
,即k=±1时,Smin=72.
故四边形ACBD面积的最小值是72.
练习册系列答案
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),动圆P经过点F且和直线y=
相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
，
，分别交曲线W于A,B和C,D.①求四边形ABCD面积的最小值；②分别在A,B两点作曲线W的切线，这两条切线的交点记为Q,求证：QA⊥QB,且点Q在某一定直线上。
),动圆P经过点F且和直线y=
相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W,