题目内容
已知双曲线x2-2y2=2的左、右两个焦点为F1，F2，动点P满足|PF1|+|PF2|=4．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设D（
，0），过F2且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，若DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，求直线l的方程．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设D（
| ||
| 2 |
（Ⅰ）双曲线的方程可化为
-y2=1，则|F1F2|=2
∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=2
∴P点的轨迹E是以F1、F2为焦点，长轴为4的椭圆
由a=2，c=
，∴b=1
∴所求方程为
+y2=1；
（Ⅱ）设l的方程为y=k(x-
)，则k≠0
代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8
k2x+12k2-4=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=
，
∴y1+y2=k（x1+x2-2
）=
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴（
+
）⊥
∴（
+
）•
=0
∴
-
-
=0
∴k=±
∴l的方程为y=±
(x-
)．
| x2 |
| 2 |
| 3 |
∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=2
| 3 |
∴P点的轨迹E是以F1、F2为焦点，长轴为4的椭圆
由a=2，c=
| 3 |
∴所求方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）设l的方程为y=k(x-
| 3 |
代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8
| 3 |
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=
8
| ||
| 1+4k2 |
∴y1+y2=k（x1+x2-2
| 3 |
-2
| ||
| 1+4k2 |
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴（
| DA |
| DB |
| AB |
∴（
| DA |
| DB |
| AB |
∴
8
| ||
| 1+4k2 |
| 3 |
2
| ||
| 1+4k2 |
∴k=±
| ||
| 2 |
∴l的方程为y=±
| ||
| 2 |
| 3 |
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