Question

i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵=________．

Answer 1

i
分析：根据虚数单位的性质看出要求的和式中每四项之和等于0，则用2005除以4得到余数是1，则要求的和式等于i²⁰⁰⁵，求解i²⁰⁰⁵即可得到结果．本题也可以运用推导等比数列的求和公式的方法，即错位相减法求解．
解答：法一
∵i+i²+i³+i⁴=i-1-i+1=0，
∴复数z=i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵
=（i+i²+i³+i⁴）+（i⁵+i⁶+i⁷+i⁸）+…+（i²⁰⁰¹+i²⁰⁰²+i²⁰⁰³+i²⁰⁰⁴）+i²⁰⁰⁵
=i²⁰⁰⁵
=（i²）¹⁰⁰²•i
=（-1）¹⁰⁰²•i
=i．
所以i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵=i．
故答案为i．
法二
设S=i+i²+i³+…+i²⁰⁰⁵①
等式两边同时乘以i得：
iS=i²+i³+…+i²⁰⁰⁶②
①-②得：（1-i）S=i-i²⁰⁰⁶，
所以，S=
=
=
=i．
故答案为i．
点评：本题考查虚数单位的性质及其应用，训练了实数运算中的错位相减法在计算复数题中的运用，此题也可以运用等比数列求和公式求解，是基础题．