Question

设实数a、b、c满足a²+2b²+3c²=

3

2

，求证：3^-a+9^-b+27^-c≥1．

Answer 1

分析：首先分析题目已知a²+2b²+3c²=

3

2

，求证：3^-a+9^-b+27^-c≥1．可以考虑到柯西不等式的应用，求出a+2b+3c≤3后，再根据基本不等式代入3^-a+9^-b+27^-c即可得到大于1．即得证．

解答：解：由柯西不等式，（a+2b+3c）²≤(

1

2+

2

2+

3

2)((

1

a)2+(

2

b)2+(

3

c)2)=9
所以得：a+2b+3c≤3．
又由基本不等式得3^-a+9^-b+27^-c≥3

3	3-(a+2b+3c)

≥3

3	3-3

=1
故得证．

点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对两种不等式非常熟练，属于中档题目．