Question

选修4-5：不等式选讲
设f（x）=|x+1|-|x-2|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤a的解集为（-∞，

1

2

]．求a的值；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）+4m＜m²，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）画出函数f（x）的图象，根据x=

1

2

时，f（x）=0；当x＜

1

2

时，f（x）＜0；当x＞

1

2

时，f（x）＞0，可得a的值．
（Ⅱ）不等式等价于f（x）＜m²-4m，因为f（x）的最小值为-3，所以问题等价于-3＜m²-4m，由此求得m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

-3，x＜-1 2x-1，-1≤x≤2 3，x≥2

，其图象如下：…（3分）
当x=

1

2

时，f（x）=0．
当x＜

1

2

时，f（x）＜0；当x＞

1

2

时，f（x）＞0．
所以，a=0．…（6分）
（Ⅱ）不等式f（x）+4m＜m²，即f（x）＜m²-4m．
因为f（x）的最小值为-3，所以问题等价于-3＜m²-4m．
解得m＜1，或m＞3．
故m的取值范围是（-∞，1）∪（3，+∞）．    …（10分）

点评：本题主要考查带有绝对值函数，绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．