题目内容
已知抛物线的顶点在坐标原点
，焦点
在
轴上，抛物线上的点
到
的距离为2，且
的横坐标为1．直线
与抛物线交于
，
两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）当直线
，
的倾斜角之和为
时，证明直线
过定点.
（1）
；（2）直线
恒过定点
，证明详见解析.
【解析】
试题分析：（1）设抛物线方程为
，由抛物线的定义及
即可求得
的值；（2）先设点
，
，然后将直线方程与抛物线方程联立消去
得
，根据二次方程根与系数的关系表示出
，设直线
，
的倾斜角分别为
，斜率分别为
，则
，进而根据正切的两角和公式可知
，其中
，
，代入求得
和
的关系式，此时使有解的
有无数组，把直线方程整理得
，推断出直线
过定点.
试题解析：（1）设抛物线方程为
由抛物线的定义知
，又
2分
所以
，所以抛物线的方程为 4分
（2）设，
联立
，整理得
（依题意
）
，
6分
设直线，的倾斜角分别为，斜率分别为，则
8分
其中，，代入上式整理得
所以
即
10分
直线
的方程为
，整理得
所以直线
过定点 12分.
考点：1.抛物线的定义与方程；2.直线与抛物线的综合问题；3.二次方程根与系数的关系.
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