题目内容
10.将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,(1)若每个盒子放一个小球,求有多少种放法;
(2)若每个盒子放一球,求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数;
(3)求恰有一个空盒子的放法种数.
分析 (1)把四个编号为1,2,3,4的相同小球全排列即可,
(2)先确定一个1个盒子的号码与小球的号码相同,有4种,再确定,剩下的3个小球只有2种放法,根据分步计数原理可得.
(3)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起,与其他两个球看成三个元素,在三个位置排列.
解答 解:(1)若每个盒子放一个小球,把四个编号为1,2,3,4的相同小球全排列,故有$A_4^4$=24种;
(2)假设1号小球放在1号盒子内,先放2号小球,若2号小球放在3号盒子里,则3号小球只能放在4号盒子里,4号小球只能放在2号盒子里,有1种方法,
若2号小球放在4号盒子里,则3号小球只能放在2号盒子里,4号小球只能放在3号盒子里,有1种方法,
故恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种$C_4^1•2$=8种;
(3)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,
且小球数只能是1、1、2.
先从4个小球中任选2个放在一起,有C24种方法,
然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有A34种放法.
∴由分步计数原理知共有C24A34=144种不同的放法.
点评 本题考查计数问题,考查排列组合的实际应用,排列问题要做到不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
18.防疫站对学生进行身体健康调查,按男女比例采用分层抽样的方法,从2400名学生中抽取一个容量为200的样本,已知女生比男生少抽10人,则该校女生人数为( )
A. | 1200 | B. | 1190 | C. | 1140 | D. | 95 |
19.已知等比数列{an}中,a2=-4,${a_5}=\frac{1}{2}$,则公比q=( )
A. | -2 | B. | $-\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | 2 |