Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（2-x）+f（x）=0恒成立．如果实数m、n满足不等式组

f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0 m＞3

’则m²+n²的取值范围是（　　）

A．（3，7）

B．（9，25）

C．（13，49）

D．（9，49）

Answer 1

分析：由f（2-x）+f（x）=0，得f（2-x）=-f（x），从而f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0可化为f（m²-6m+23）＜-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），根据f（x）在R上单调递增，可得m²-6m+23＜2-n²+8n，整理得（m-3）²+（n-4）²＜4，由此可画出不等式组

f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0 m＞3

所表示的点（m，n）对应的区域，根据m²+n²的几何意义可求得答案．

解答：解：∵f（2-x）+f（x）=0，
∴f（2-x）=-f（x），
∴f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，可化为f（m²-6m+23）＜-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），
又f（x）在R上单调递增，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n，即m²-6m+23+n²-8n-2＜0，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4，
∴不等式组

f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0 m＞3

’即为

(m-3)2+(n-4)2＜4 m＞3

，
点（m，n）所对应的区域为以（3，4）为圆心，2为半径的右半圆（不含边界），如图阴影部分所示：

易知m²+n²表示点（m，n）到点（0，0）的距离的平方，
由图知，|OA|²＜m²+n²＜|OB|²，
可得点A（3，2），
∴|OA|²=3²+2²=13，|OB|²=（5+2）²=49，
∴13＜m²+n²＜49，即m²+n²的取值范围为（13，49）．
故选C．

点评：本题考查函数恒成立问题、线性规划问题，考查数形结合思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属中档题．