如下图.某地有三家工厂.分别位于矩形ABCD 的顶点A.B 及CD的中点P 处.已知AB=20km,CB =10km .为了处理三家工厂的污水.现要在矩形ABCD 的区域上.且与A.B等距离的一点O处建造一个污水处理厂.并铺设排污管道AO.BO.OP .设排污管道的总长度为km． (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=(rad).将表示成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

（本题满分12分）

如下图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数；

②设OP(km) ，将表示成的函数．

（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．

【答案】

（1）①，

②（2）

【解析】（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故，又OP＝，

所以，

所求函数关系式为 ………3分

②若OP=(km) ，则OQ＝10－，

所以OA =OB=

所求函数关系式为 ………6分

（2）选择函数模型①，

………8分

令0 得sin ，因为，所以=，

当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以函数在=时取得极小值，这个极小值就是最小值．．

这时(km) ………11分

因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为(km)时，铺设的排污管道总长度最短． ………12分

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