Question

8．已知a为实数，函数f（x）=x³+|x-a|．
（1）若a=0，求方程f（x）=x的解集；
（2）若函数y=f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≥1在[-1，1]上恒成立，求正实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入，再分当x≥0时和当x＜0时去除绝对值符号，分别求解，最后综合讨论结果可得：方程f（x）=x的解集；
（2）若函数y=f（x）在R上是增函数，则f'（x）≥0恒成立，利用导数法可求实数a的取值范围；
（3）若不等式f（x）≥1在[-1，1]上恒成立，则|a-x|≥1-x³对一切x∈[-1，1]恒成立，即a≥-x³+x+1对一切x∈[-1，1]恒成立，构造函数h（x）=-x³+x+1利用导数求出函数的最值，可得正实数a的最小值．

解答 解：（1）a=0，f（x）=x，即x³+|x|=x．
当x≥0时，x³+x=x，
∴x=0．              …（1分）
当x＜0时，x³-x=x，
∴x²=2．则$x=-\;\sqrt{2}$．  …（3分）
∴方程f（x）=x的解集为 { 0，$-\;\sqrt{2}$}．         …（4分）
（2）$f（x）=\;\left\{\begin{array}{l}{x^3}+x-a，\;\;x\;≥\;a\\{x^3}-x+a，\;\;x\;＜\;a.\end{array}\right.$
当x＞a时，f'（x）=3x²+1＞0恒成立，
∴f（x）在 （a，+∞） 上是增函数．               …（6分）
当x＜a时，f'（x）=3x²-1，当a≤$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，f'（x）=3x²-1≥0在（-∞，a ）恒成立，
∴f（x）在 （-∞，a ） 上是增函数．
综上所述，a≤$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．                          …（8分）
（3）f（x）≥1，即x³+|x-a|≥1，即|a-x|≥1-x³．
∵上式对一切x∈[-1，1]恒成立，
将x=-1代入，得|a+1|≥2，又a＞0，
∴a≥1． …（10分）
则x³-x+a≥1，即a≥-x³+x+1对一切x∈[-1，1]恒成立． …（12分）
设函数h（x）=-x³+x+1，
∵h'（x）=-3x²+1，令h'（x）=0，得$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

x	-1	（-1，$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）	$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	（$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）	$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$	（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$Z，1）	1
h'（x）		-	0	+	0	-
h（x）	1	↘	$1-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$	↗	$1+\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$	↘	1

…（15分）
∴$a≥\;1+\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$时，a≥-x³+x+1对一切x∈[-1，1]恒成立．
∴正实数a的最小值为 $1+\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$．                   …（16分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，利用导数法分析函数的单调性，利用导数法求函数的最值，恒成立问题，是导数与分段函数的综合应用，难度较大．