Question

先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．
（Ⅰ）设函数f（x）=|x-a|，函数g（x）=x-b，令F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）有且只有一个零点的概率；
（Ⅱ）将a，b，5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型试验发生包含的事件先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6
，满足条件的事件是函数F（x）有且只有一个零点，列举出所有的结果，根据古典概型概率公式得到结果．
（II）在第一问的基础上列举出所有满足条件的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型
试验发生包含的事件先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．
∵函数F（x）有且只有一个零点
∴函数f（x）=|x-a|与函数g（x）=x-b有且只有一个交点
∴b＜a，且a，b∈1，2，3，4，5，6
∴满足条件的情况有a=2，b=1；a=3，b=1，2；a=4，b=1，2，3；
a=5，b=1，2，3，4；a=6，b=1，2，3，4，5．
共1+2+3+4+5=15种情况．
∴函数F（x）有且只有一个零点的概率是

15

36

=

5

12

（Ⅱ）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，事件总数为6×6=36．
∵三角形的一边长为5∴当a=1时，b=5，（1，5，5），1种；
当a=2时，b=5，（2，5，5），1种；当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5），2种；
当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5），2种；
当a=5，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），
（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5），6种；
当a=6，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5），2种
故满足条件的不同情况共有14种
即三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为

14

36

=

7

18

．

点评：本题考查古典概型，实际上本题是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的精髓．