Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为．
（1）证明：直线A₁B∥平面CDD₁C₁；
（2）求棱A₁A的长；
（3）求经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）如图，连接D₁C，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，可证四边形A₁BCD₁是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）设A₁A=h，已知几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为，利用等体积法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，进行求解．
（3）连接D₁B，设D₁B的中点为O，连OA₁，OC₁，OD，利用公式S_球=4π×（OD₁）²，进行求解．
解答：解：（1）证明：法一：如图，连接D₁C，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC．
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形．
∴A₁B∥D₁C．
∵A₁B?平面CDD₁C₁，D₁C?平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，
∴平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．
∵A₁B?平面A₁AB，A₁B?平面CDD₁C₁．
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．

（2）设A₁A=h，∵几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为，
∴VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁=，
即S_ABCD×h-×S△A₁B₁C₁×h=，
即2×2×h-××2×2×h=，解得h=4．
∴A₁A的长为4．

（3）如图，连接D₁B，设D₁B的中点为O，连OA₁，OC₁，OD．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴A₁D₁⊥平面A₁AB．
∵A₁B?平面A₁AB，∴A₁D₁⊥A₁B．
∴OA₁=D₁B．同理OD=OC₁=D₁B．
∴OA₁=OD=OC₁=OB．
∴经过A₁，C₁，B，D四点的球的球心为点O．
∵D₁B²=A₁D₁²+A₁A²+AB²=2²+4²+2²=24．
∴S_球=4π×（OD₁）²=4π×（）²=π×D₁B²=24π．
故经过A₁，C₁，B，D四点的球的表面积为24π．
点评：本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，同学们要课下要多练习．