题目内容

(2007•南通模拟)已知集合A={(x,y)||x|+|y|=2;x,y∈R},B={(x,y)||xy|=a;x,y∈R},若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点,则正数a的值为
2
2
-2
2
2
-2
分析:去绝对值讨论集合A,由A和B作出对应的图象,找出两图象在第一象限内的两个交点,结合对称性,由正八边形的边长相等列式求出两图象在第一象限内的交点的坐标,代入|xy|=a求解a的值.
解答:解:由|x|+|y|=2,得
x+y=2 (x≥0,y≥0)
x-y=2 (x≥0,y<0)
-x+y=2 (x<0,y≥0)
-x-y=2 (x<0,y<0)

∴集合A={(x,y)||x|+|y|=2;x,y∈R}对应的图形如图:

设集合A和集合B={(x,y)||xy|=a,x,y∈R}在第一象限的交点为P,Q.
不妨设P靠近x轴,P点坐标为(x,y)(x>y>0),
由对称性可知,Q点的坐标为(y,x).
∴正八边形的边长为PE=PF=
2
PQ,即2y=
2
(x-y) ①.
又x+y=2  ②.
联立①②解得:x=
2
,y=2-
2

∴a=|
2
(2-
2
)
|=2
2
-2

故答案为:2
2
-2
点评:本题考查了曲线与方程,训练了绝对值的去法,考查了两集合的交集,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.
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