Question

已知定点A（-3，0），两动点B、C分别在y轴和x轴上运动，且满足

AB

•

BC

=0，

CQ

=2

BC

，
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）过点G（0，1）的直线l与轨迹E在x轴上部分交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于D点，求D点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设点B、C、Q的坐标分别为（0，b）、（c，0）、（x，y），由已知得

3c-b2=0 x-c=2c y=-2b

，由此得动点E的轨迹E的方程．
（2）设直线l的方程为x=k（y-1），代入轨迹E的方程y²=4x中，整理得y²-4ky+4k=0，由已知得（4k）²-4×4k＞0且k＞0，解得k＞1．由根与系数的关系可得MN的中点坐标为（k（2k-1），2k）．由此能求出D点的横坐标的取值范围．

解答：解：（1）设点B、C、Q的坐标分别为（0，b）、（c，0）、（x，y），

则有 AB =(3，b). BC =(c，-b)， CQ =(x-c，y) 由已知得 3c-b2=0 x-c=2c y=-2b 消去b，c得y2=4x， 即动点Q的轨迹E的方程是y2=4x．

（2）设直线l的方程为x=k（y-1），代入轨迹E的方程y²=4x中，整理得y²-4ky+4k=0
由已知得（4k）²-4×4k＞0且k＞0，解得k＞1．
由根与系数的关系可得MN的中点坐标为（k（2k-1），2k）．
∴线段MN垂直平分线方程为y-2k=k[x-k（2k-1）]．
令y=0，得D点的横坐标为x₀=2k²-k+2．
∵k＞1，∴x₀＞3，∴D点的横坐标的取值范围为（3，+∞）．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法和求D点的横坐标的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．