Question

（2013•唐山二模）选修4-5：不等式选讲
已知f（x）=|ax-4|-|ax+8|，a∈R
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）≤k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=2时，f（x）=2（|x-2|-|x+4|），再对x的值进行分类讨论转化成一次不等式，由此求得不等式的解集．
（II）f（x）≤k恒成立，等价于k≥f（x） _max，由此求得实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，
f（x）=2（|x-2|-|x+4|）=

12，x＜-4 -4x-4，-4≤x≤2 -12，x＞2

当x＜-4时，不等式不成立；
当-4≤x≤2时，由-4x-4＜2，得-

3

2

＜x≤2；
当x＞2时，不等式必成立．
综上，不等式f（x）＜2的解集为{x|x＞-

3

2

}．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）=|ax-4|-|ax+8|≤|（ax-4）-（ax+8）|=12，
当且仅当ax≤-8时取等号．
所以f（x）的最大值为12．
故k的取值范围是[12，+∞）．…（10分）

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．