Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点B(0，-2

2

)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点
（1）求BC边所在直线方程； 
（2）圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程；
（3）若DE是圆M的任一条直径，试探究

PD

•

PE

是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）用斜率公式求出 AB的斜率 K_AB，根据垂直关系可得BC的斜率  K_BC，用点斜式求得BC边所在直线方程．
（2）在BC边所在直线方程中，令y=0，可得点 C的坐标，设△ABC的外接圆方程为  x²+y²+Dx+Ey+F=0，把 A、B、C三点的坐标分别代入，求出 D、E、F的值，即得△ABC的外接圆方程．
（3）由题意可得P（-1，0 ），△ABC的外接圆标准方程为 （x-1）²+y²=9，设

PS

 与

SE

的夹角为θ，则 

PS

 与 

SD

 的夹角为π-θ，根据

PD

•

PE

=（

PS

+

SD

 ）•（

PS

+

SE

），求得结果．

解答：解：（1）AB的斜率 K_AB=

-2 2 -0

0+2

=-

2

，∴K_BC=

-1

KAB

=

2

2

，
故求BC边所在直线方程为  y+2

2

=

2

2

（x-0），即 y=

2

2

x-2

2

．
（2）在BC边所在直线方程中，令y=0，可得 x=4，故 C（4，0）．
设△ABC的外接圆方程为  x²+y²+Dx+Ey+F=0，把 A、B、C三点的坐标分别代入可得

4+0-2D+0+F =0 0+8+0-2 2 E+F =0 16+0+4D+0+F =0

，解得 

D=-2 E=0 F=-8

，∴△ABC的外接圆方程为 x²+y²-2x-8=0．
（3）由题意可得P（-1，0 ），△ABC的外接圆标准方程为 （x-1）²+y²=9，
表示以S（1，0）为圆心，以3为半径的圆．
由于DE是圆M的任一条直径，设

PS

 与

SE

的夹角为θ，则 

PS

 与 

SD

 的夹角为π-θ，
∴

PD

•

PE

=（

PS

+

SD

 ）•（

PS

+

SE

）=

PS

2+

PS

•

SE

+

PS

•

SD

+

SD

•

SE

 
=4+|

PS

|•|

SE

|cosθ+|

PS

|•|

SD

|cos（π-θ）+（-SD²）=4+2×3cosθ-2×3cosθ-9=-5，
故

PD

•

PE

是定值，为-5．

点评：本题考查用点斜式求直线方程，求圆的一般方程和标准方程，两个向量的数量积的定义，得到
 

PD

•

PE

=（

PS

+

SD

 ）•（

PS

+

SE

），是解题的关键．