Question

在△ABC中，已知cosA=

4

5

．
（Ⅰ）求sin（A+45°）的值；
（Ⅱ）若a=2，B=45°，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A为三角形的内角，根据cosA的值求出sinA的值，sin（A+45°）利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）由B的度数，利用内角和定理表示出sinC，根据sin（A+45°）的值求出sinC的值，再由sinA，a的值，利用正弦定理求出c的值，最后利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答：解：（Ⅰ）∵cosA=

4

5

，A为三角形内角，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

5

，
则sin（A+45°）=sinAcos45°+cosAsin45°=

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

7 2

10

；
（Ⅱ）∵B=45°，
∴sinC=sin[180°-（A+B）]=sin（A+B）=sin（A+45°）=

7 2

10

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

，
得：c=

asinC

sinA

=

7 2

3

，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×

7 2

10

×

2

2

=

7

3

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形面积公式，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．