题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的导函数为f′（x），且f（-x）=f（x），f（1）=1，f′（-1）=-2．数列{a_n}满足a₁=1，且当n≥2，n∈N^时，a_n=n²[ $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ]．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当n≥2且n∈N^时，比较 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的大小．
（3）比较（1+ $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）L（1+ $数学公式$ ）与4的大小．

解：（1）∵f（x）=ax²+bx+c，∴由f（-x）=f（x），有b=0，得f（x）=ax²+c．又f（1）=1，f′（-1）=-2，∴a+c=1，2a×（-1）=-2，∴a=1，c=0，∴f（x）=x²．
（2）∵f（n）=n²，∴ $\text{[math]}$ ．，∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．
（3）由题意可得a₂=4；当n=1时，有 $\text{[math]}$ ．当n≥2且n∈N^*时，
（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）L（1+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 4（ $\text{[math]}$ ）
所以，对任意n∈N^*有（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）L（1+ $\text{[math]}$ ）＜4．
分析：（1）利用由f（-x）=f（x），有b=0，从而f（x）=ax²+c，f（1）=1，f′（-1）=-2，可求a、c的值，从而可求函数表达式；
（2）分别表示出分子、分母，进而可得 $\text{[math]}$ ；
（3）将连乘积表示为（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）（1+ $\text{[math]}$ ）L（1+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，再用裂项求和法，利用 $\text{[math]}$ 可得结论．
点评：本题考查数列与不等式的结合，考查裂项求和、放缩法，有一定的技巧．