Question

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的：对于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．
（1）判断函数f₁（x）=2-

x

及f₂（x）=1+3•（

1

2

)x（x≥0）是否在集合A中？试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立．求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵f₁（49）=2-

49

=-5∉（1，4]，∴f₁（x）不在集合A中．…（3分）
又∵x≥0，∴0＜（

1

2

)x≤1，∴0＜3•（

1

2

)x≤3，从而1＜1+3•（

1

2

)x≤4．∴f₂（x）∈（1，4]．
又f₂（x）=1+3•（

1

2

)x在[0，+∞）上为减函数，∴f₂（x）=1+3•（

1

2

)x在集合A中．…（7分）
（2）当x≥0时，f（x）+f（x+2）=2+

15

4

•（

1

2

)x≤

23

4

．
又由已知f（x）+f（x+2）≤k对于任意的x≥0总成立，∴k≥

23

4

．
因此所求实数k的取值范围是[

23

4

，+∞）．                      …（14分）