Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成的角为（　　）

• A、arccos

  3

  2

• B、arccos

  10

  10

• C、arccos

  3

  5

• D、arccos

  2

  5

Answer 1

分析：解法一：
求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题可采用向量方法求解：因为

AM

=

AA1

+

A1M

，

CN

=

CB

+

BN

，所以

AM

•

CN

=

1

2

．而|

AM

|=

5

2

．同理，|

CN

|=

5

2

．
则由数量积运算即可得直线AM与CN所成的角的大小．
解法二：
分别以

DA

、

DC

、

DD1

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，把D点视作原点O，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）、M（1，

1

2

，1）、C（0，1，0）、N（1，1，

1

2

）．所以

AM

=（0，

1

2

，1），

CN

=（1，0，

1

2

）．故

AM

•

CN

=

1

2

，|

AM

|=

5

2

，|

CN

|=

5

2

．
则由数量积运算即可得直线AM与CN所成的角的大小．

解答：解：法一：∵

AM

=

AA1

+

A1M

，

CN

=

CB

+

BN

，
∴

AM

•

CN

=（

AA1

+

A1M

）•（

CB

+

BN

）=

AA1

•

BN

=

1

2

．
而|

AM

|=

( AA1 + A1M )•( AA1 + A1M )

=

| AA1 |2+| A1M |2

=

1+ 1 4

=

5

2

．
同理，|

CN

|=

5

2

．
如令α为所求之角，则cosα=

AM • CN

| AM || CN |

=

1 2

5 4

=

2

5

，∴α=arccos

2

5

．
故选D．
法二：建立如图所示的空间直角坐标系，把D点视作原点O，
分别以

DA

、

DC

、

DD1

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，
则A（1，0，0）、M（1，

1

2

，1）、C（0，1，0）、N（1，1，

1

2

）．
∴

AM

=（0，

1

2

，1），

CN

=（1，0，

1

2

）．
故

AM

•

CN

=0×1+

1

2

×0+1×

1

2

=

1

2

，
|

AM

|=

02+( 1 2 )2+12

=

5

2

，
|

CN

|=

12+02+( 1 2 )2

=

5

2

．
∴cosα=

AM • CN

| AM || CN |

=

1 2

5 2 • 5 2

=

2

5

．
∴α=arccos

2

5

．
故选D．

点评：本题主要考查了异面直线所成的角，空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．