Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁＝AC＝CB＝AB.
 
(1)证明：BC₁∥平面A₁CD；
(2)求二面角D－A₁C－E的正弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)连接AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC₁∥DF.因为DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，所以BC₁∥平面A₁CD.
(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A₁(2,0,2)，
＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．
设n＝(x₁，y₁，z₁)是平面A₁CD的法向量，
则即可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m＝(x₂，y₂，z₂)是平面A₁CE的法向量，
则即可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝
即二面角D－A₁C－E的正弦值为