Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N*，2是a_n+2 和a_n的等比中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1；
（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m 的一切正整数n，不等式2S_n﹣4200＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，4 ，且a_n＞0． 
当n=1时，4 +2a₁，解得a₁=2．  
当n≥2时，有4S_n﹣1= ．
于是4S_n﹣4S_n﹣1= ，
即4 ．
于是 ，即（a_n+a_n﹣1）（a_n﹣a_n﹣1）=2（a_n+a_n﹣1）．
因为a_n+a_n﹣1＞0，所以a_n﹣a_n﹣1=2，n≥2．
故数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，且a_n=2n．
（Ⅱ）证明：因为a_n=2n，则 ，
所以 =（1﹣ ）+（ ）+…+（ ） =1﹣ ．
（Ⅲ）由 ，得2n（n+1）﹣4200＞2n²，所以n＞2100．  
由题设，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因为m∈M，所以m=2100，2102，…，2998均满足条件．
且这些数组成首项为2100，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2100+2（k﹣1）=2998，解得k=450．
故集合M中满足条件的正整数m共有450个．