Question

（2013•渭南二模）在等差数列{a_n}中，a₂+a₇=-23，a₃+a₈=-29．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意 a₃+a₈-（a₂+a₇）=2d=-6，从而d=-3．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，得-3n+2+bn=cn-1，所以 bn=3n-2+cn-1．所以 Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+cn-1)=

n(3n-1)

2

+(1+c+c2+…+cn-1)．由此能求出{b_n}的前n项和S_n．

解答：（Ⅰ）解：设等差数列{a_n}的公差是d．
依题意 a₃+a₈-（a₂+a₇）=2d=-6，从而d=-3．
所以 a₂+a₇=2a₁+7d=-23，解得 a₁=-1．
所以数列{a_n}的通项公式为 a_n=-3n+2．
（Ⅱ）解：由数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，
得 an+bn=cn-1，即-3n+2+bn=cn-1，
所以 bn=3n-2+cn-1．
所以 Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+…+cn-1)
=

n(3n-1)

2

+(1+c+c2+…+cn-1)．
从而当c=1时，Sn=

n(3n-1)

2

+n=

3n2+n

2

；
当c≠1时，Sn=

n(3n-1)

2

+

1-cn

1-c

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．