题目内容

{a_n}、{b_n}都是各项为正的数列，对任意的n∈N⁺，都有a_n、b_n²、a_n+1成等差数列，b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比数列．
（1）试问{b_n}是否为等差数列，为什么？
（2）如a₁=1，b₁= $数学公式$ ，求 $数学公式$ ．

解：（1）依题意 $\text{[math]}$ （2分）
∴b_n-1+b_n+1=2b_n（n＞1）∴{b_n}为等差数列（6分）
（2）由a₁=1， $\text{[math]}$ ，求得 $\text{[math]}$ （8分）
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1））要判断{b_n}为等差数列，只要能证b_n-1+b_n+1=2b_n（n＞1），而由已知可得 $\text{[math]}$ ，推导即可
（2）由（1）可求得 $\text{[math]}$ ，从而可得 $\text{[math]}$ ，结合数列的特点考虑利用裂项求和即可
点评：本题主要考查了等差数列的证明方法：等差中项法的应用，数列求和中的裂项求和，属于基本方法的应用．