Question

设P的轨迹是曲线C，满足：点P到F（-2，0）的距离与它到直线l：x=-4的距离之比是常数，又点M(2，-

2

)在曲线C上，点N（-1，1）在曲线C的内部．
（1）求曲线C的方程；
（2）|PN|+

2

|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y）的坐标，利用点P到F（-2，0）的距离与它到直线l：x=-4的距离之比是常数，得到圆的表达式，点M(2，-

2

)在曲线C上，求出离心率，推出轨迹方程．
（2）利用（1）的离心率，求出|PN|+

2

|PF|的表达式，然后确定最小值．

解答：解：（1）设P（x，y）则由题意可得

(x+2)2+y2

|x+4|

=e
因为M(2，-

2

)在曲线C上，所以

(2+2)2+(- 2 )2

|2+4|

=e
则e=

2

2

，所以

(x+2)2+y2

|x+4|

=

2

2

，化简得

x2

8

+

y2

4

=1
所以曲线C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1
（2）由（1）可得曲线C为椭圆且离心率e=

2

，设点P到准线l：x=-4的距离为d
所以

|PF|

d

=

2

2

，d=

2

|PF|
所以|PN|+

2

|PF|=|PN|+d，
所以|PN|+

2

|PF|的最小值为|-1-（-4）|=3，此时点P的坐标为（-

6

，1)

点评：本题是中档题，考查椭圆轨迹方程的求法，椭圆离心率的应用，考查计算能力，高考常考题型．