Question

如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=ACAE=AB,BD,CE相交于点F.

（Ⅰ）求证:A,E,F, D四点共圆；
（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

Answer 1

(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ).

试题分析：(Ⅰ)根据圆内接四边形判定定理，只需说明对角互补即可，由已知数量关系，可证明，故，所以，所以四点共圆；(Ⅱ)四边形的外接圆问题 可转化为其中三个顶点确定的外接圆问题解决，取的中点,连接则容易证
，则的外接圆半径为，也是四边形的外接圆半径.
试题解析：(Ⅰ)证明:∵, ∴ , ∵在正中, , ∴,
又∵,, ∴, ∴, 即,所以四点共圆.
(Ⅱ)解:如图, 取的中点,连接,则, ∵, ∴,

∵,∴,又, ∴为正三角形, ∴,即, 所以点是外接圆的圆心,且圆G的半径为2. 由于四点共圆,即四点共圆,其半径为.