Question

设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（Ⅰ）若f(

1

2

)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，g(x)=

f(x)+k-1

log2x

在[2，4]上是单调函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f(

1

2

)=0可消去b，再由f（x）的最小值为0确定f（x）的解析式，最后求出F（x）的解析式．
（2）根据（1）先将g（x）的解析式化简为g(x)=log2x+

k

log2x

+2，再将t=log₂x代入进行换元，可得答案．

解答：解：（1）f（x）=alog₂²x+blog₂x+1
由f(

1

2

)=0得a-b+1=0，
∴f（x）=alog₂²x+（a+1）log₂x+1
若a=0则f（x）=log₂x+1无最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值为0，只能使

a＞0 4a-(a+1)2 4a =0

，知a=1，b=2．
∴f（x）=log₂²x+2log₂x+
设x＜0则-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log₂²（-x）+2log₂（-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log₂²（-x）-2log₂（-x）-1
又F（0）=0∴F(-x)=

log22x+2log2x+1  (x＞0) 0(x=0) -log22(-x)-2log2(-x)-1  (x＜0)

（2）g(x)=

log22x+2log2x+1+k-1

log2x

=log2x+

k

log2x

+2．x∈[2，4]．
得log₂x=t．则y=t+

k

t

+2，t∈[1，2]．
∴当k≤0，或

k

≤1或

k

≥2时，y为单调函数．
综上，k≤1或k≥4．

点评：主要考查求函数解析式的问题．本题属于较难类型的题．