Question

（理科）已知函数f(x)=

-x3+ax2+bx，(x＜1) clnx，(x≥1)

的图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0
（1）求实数a、b的值
（2）曲线y=f（x）上存在两点M、N，使得△MON是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边MN的中点在y轴上，求实数c的取值范围
（3）当c=e时，讨论关于x的方程f（x）=kx（k∈R）的实根个数．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用函数图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0，建立方程组，即可求得实数a、b的值；
（2）设出M，N的坐标，分类讨论，利用MN的中点在y轴上，且

OM

•

ON

=0，即可求实数c的取值范围；
（3）就x≠0时进行研究，方程等价于k=

-x2+x，(x＜1且x≠0) elnx x ，(x≥1)

，利用函数的图象，分类讨论，即可得到结论．

解答：解：（1）当x＜1时，f'（x）=-3x²+2ax+b．
∵函数图象在点（-2，f（-2））处的切线方程为16x+y+20=0．
∴切点坐标为（-2，12），则有

f(-2)=8+4a-2b=12 f′(-2)=-12-4a+b=-16

解得a=1，b=0…（3分）
（2）由（1）得f(x)=

-x3+x2，(x＜1) clnx，(x≥1)

，根据条件M，N的横坐标互为相反数，不妨设M（-t，t³+t²），N（t，f（t）），（t＞0）．
①若t＜1，则f（t）=-t³+t²，由∠MON是直角得，

OM

•

ON

=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，t⁴-t²+1=0．（无解）
②若t≥1，则f（t）=clnt．
由于MN的中点在y轴上，且

OM

•

ON

=0，点N不能在x轴上，即t≠1．
由

OM

•

ON

=0，-t²+（t³+t²）•clnt=0，分离参数得到g(t)=

1

(t+1)lnt

∵函数g(t)=

1

(t+1)lnt

（t＞1）的值域是（0，+∞）
∴c的取值范围是（0，+∞）…（7分）
（3）方程f（x）=kx，即kx=

-x3+x2，(x＜1) elnx，(x≥1)

，可知0一定是方程的根，
所以仅就x≠0时进行研究，方程等价于k=

-x2+x，(x＜1且x≠0) elnx x ，(x≥1)

．
令k(x)=

-x2+x，(x＜1且x≠0) elnx x ，(x≥1)

…（8分）
下面研究函数k（x）的性态，进而画出其大致图象．
对于x＜1且x≠0部分，函数k（x）=-x²+x的图象是开口向下的抛物线的一部分，当x=

1

2

时取得最大值

1

4

，其值域是(-∞，0)∪(0，

1

4

]；
对于x≥1部分，函数k(x)=

elnx

x

，令k′(x)=

e-elnx

x2

=0，得x=e，
所以函数k（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，所以k（x）在x=e时取得最大值1，其值域是[0，1]，k（1）=0，并且当x无限增大时，其图象在x轴上方向右无限接近x轴但永远也达不到x轴…（10分）
因此可画出函数k（x）的图象的示意图如下：

可得：
①当k＞1时，方程f（x）=kx只有唯一实根0；
②当k=1或者k≤0时，方程f（x）=kx有两个实根；
③当

1

4

＜k＜1时，方程f（x）=kx有三个实根；
④当k=

1

4

时，方程f（x）=kx有四个实根；
⑤当0＜k＜

1

4

时，方程f（x）=kx有五个实根；…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查向量知识的运用，属于中档题．