Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD；四边形ABCD是菱形，边长为2，∠BCD=60°，经过AC作与PD平行的平面交PB与点E，ABCD的两对角线交点为F．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）若EF=

3

，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据条件得到AC⊥BD结合PD⊥平面ABCD，推得AC⊥平面PBD进而得到结论；
（Ⅱ）先根据条件得到EF是△PBD的中位线且得到PD=2

3

，再结合体积相等即可求出结论．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接DE．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．    （2分）
又因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．                             （4分）
而PD∩BD=F，
所以AC⊥平面PBD．又DE?平面PBD，
所以AC⊥DE．            （6分）
（Ⅱ）连EF．设点D到平面PBC的距离为h
由题PD∥平面ACE，
平面ACE∩平面PDB=EF
所以PD∥EF                                                               （8分）
点F是BD中点，则EF是△PBD的中位线，
EF=

1

2

PD
EF=

3

，故PD=2

3

正三角形BCD的面积s△BCD=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

                                （9分）
由（Ⅰ），知PD⊥平面BCD，V_P-BCD=

1

3

S_△BCD•PD=

1

3

×

3

×2

3

=2           （10分）
∵V_P-BCD=V_D-BCP=

1

3

•S_△BCP•h，
∵C=PB=4，s△BCP=

1

2

×2×

15

=

15

         （12分）
所以  

15

3

•h=2⇒h=

2 15

3

                                                  （13分）
故点D到平面PBC的距离为

2 15

3

．                                              （14分）

点评：本题考查的知识点是线线垂直以及点到面的距离．一般在证明线线垂直时，常转化为证明线面垂直，得到线线垂直．