题目内容

已知⊙O：x²+y²=4交x轴的负半轴于点P，直线 $数学公式$ 与⊙O另一交点为点Q，点S为圆上任一点．
（1）求弦PQ的长；
（2）当点S将上半圆分成1：2两部分圆弧时，求直线PS的方程；
（3）求 $数学公式$ 的最大值．

解：（1）直线方程为x+2y+2=0，则点O到直线的距离 $\text{[math]}$
∴弦PQ= $\text{[math]}$ （4分）
（2）由题意得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，（6分）
直线PS的方程为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （8分）
（3）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（12分）
当OS∥PQ时， $\text{[math]}$ 取得最大值，即 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ．（16分）
分析：（1）求弦PQ的长即先求出圆心到PQ的距离，然后根据勾股定理即可求解
（2）根据点S将上半圆分成1：2两部分圆弧时，求出点S的坐标，即可求出直线PS的方程
（3）根据向量加法知 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 转化为 $\text{[math]}$ 即可
点评：本题考查了向量在几何中的应用，直线与圆的位置关系，向量的数量积与不等式的知识，属于基础题．

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