Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点.

 

 

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.

 

Answer 1

【答案】

证明：（1）方法一：取线段PD的中点M，连结FM，AM．

 

 

因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD．

因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，

所以EA∥CD，且EA＝CD．

所以FM∥EA，且FM＝EA．

所以四边形AEFM为平行四边形．

所以EF∥AM．            ……………………… 5分

又AMÌ平面PAD，EFË平面PAD，所以EF∥平面PAD．  ………7分

方法二：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN．

因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，

所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE．

    又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE＝NE．

    又F为PC的中点，所以EF∥NP．………… 5分

又NPÌ平面PAD，EFË平面PAD，所以EF∥平面PAD．              ……………7分

方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．

在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．

所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．

又ADÌ平面PAD，EQË平面PAD，所以EQ∥平面PAD．         ………………2分

因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．

又PDÌ平面PAD，FQË平面PAD，所以FQ∥平面PAD．   

    又FQ，EQÌ平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．…………… 5分

因为EFÌ平面EQF，所以EF∥平面PAD．      ……………………………… 7分

（2）设AC，DE相交于G．

在矩形ABCD中，因为AB＝BC，E为AB的中点.所以＝＝．

     又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．

     又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．

由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．  ……………………… 10分

因为平面PAC⊥平面ABCD         因为DEÌ平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，

    又DEÌ平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． …………………………  14分

【解析】略