Question

已知tan2α=

3

4

，α∈(-

π

2

，

π

2

)，当函数f(x)=sin(x+α)+sin(α-x)-2sinα的最小值为零时，求cos2α及tan

α

2

的值．

Answer 1

分析：先求出角α的正切值，从而得到正弦值，再对函数f（x）进行化简可知当函数f（x）的最小值为0时，sinα＜0，进而确定角α的正弦值，最后根据二倍角公式求出cos2α、根据半角公式求出tan

α

2

．

解答：解：∵tan2α=

3

4

∴tanα=±

3

2

，∴sinα=±

21

7

f（x）=sin（x+α）+sin（α-x）-2sinα=2sinαcosx-2sinα=2sinα（cosx-1）
当函数f（x）的最小值为0时，sinα＜0，∴sinα=-

21

7

∴cos2α=1-2sin²α=1-2×(-

21

7

)2=

1

7

∵sinα=-

21

7

∴cosα=

2 7

7

∴tan

α

2

=

sinα

1+cosα

=

- 21 7

1+ 2 7 7

=

2 3 - 21

3

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式和半角公式．三角函数部分公式比较多不容易记，对此要引起重视，一定要强化记忆．