Question

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x²+y²=1在矩阵

.

2 0 0 1

.

对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．

Answer 1

分析：由题意先设椭圆上任意一点P（x₀，y₀），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x₀′，y₀′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简．

解答：解：设P（x₀，y₀）是椭圆上任意一点，
则点P（x₀，y₀）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x₀′，y₀′）
则有

x ′ 0 y ′ 0

=

2 0 0 1

x0 y0

，即

x ′ 0 =2x0 y ′ 0 =y0

，所以

x0= x ′ 0 2 y0= y ′ 0

又因为点P在椭圆上，故4x₀²+y₀²=1，从而（x₀′）²+（y₀′）²=1
所以，曲线F的方程是x²+y²=1

点评：本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．