Question

已知（

3

x2

+3x²）ⁿ（n∈N）的展开式中，名项系数的和与其各项二项式系数和的比值为32．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 对于各项系数的和可以通过赋值令x=1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2ⁿ，最后通过比值关系为32即可求出n的值是5．
（Ⅱ）利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．

解答：解：（Ⅰ）令x=1，则（

3	x2

+3x²）ⁿ  展开式的各项系数和为4ⁿ
又各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2ⁿ
∴

4n

2n

=32，∴n=5
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：n=5
∴（

3	x2

+3x²）ⁿ展开式的第3、4两项二项式系数最大 即  T₃=

C

2 5

(

3	x2

)3(3x2)2=90 x⁶
T₄=

C

3 5

(

3	x2

)2(3x2)3=270x

22

3

点评：本题考查求展开式的各项系数和的重要方法是赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，解答关键是利用展开式的各项的二项式系数的和为2ⁿ